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| Mensuel : | Edition de janvier 2009 |
| Rubrique : | Finance/Economie |
| Titre : | Recherche en Finance
VAR : Comment intégrer les propriétés de la volatilité non-stationnaire ? |
| Article : | Heureusement ou malheureusement, la VAR est devenue la mesure de référence de risque. La mesure en question indique l’étendue d’éventuelles pertes sous des conditions de marché normales, c.-à-d. non-extrêmes. Elle a une interprétation monétaire dans le sens où elle indique le montant de capital qu’il faut ajouter à une position afin de la rendre non-risquée. En ce qui concerne le risque de marché, les conditions de marché considérées comme extrêmes sont celles qui peuvent survenir dans 1% des cas. La VAR est dès lors mesurée en fixant un intervalle de confiance à 1%. Or, la fixation d’un tel intervalle confiance nécessite une modélisation fine de la distribution de la valeur future du portefeuille, cette dernière étant fonction d’un ensemble de facteurs de risque.
Ces facteurs de risque sont des variables financières en lien direct avec des actifs financiers de référence. On pratique l’expert essaie de trouver le "mapping" entre ces facteurs de risque et la distribution de valeur du portefeuille. Il existe différentes approches méthodologiques de modélisation de la distribution de valeur future du portefeuille. Tout d’abord, l’approche paramétrique consiste à supposer que les facteurs de risque suivent des lois statistiques déterminées comme par exemple la loi normale ou la loi de t. Il s’agit donc d’abord de déterminer quels sont les facteurs de risque en question, puis d’estimer leurs distributions statistiques de manière paramétrique. L’approche non-paramétrique quant à elle consiste à estimer les distributions des facteurs de risque en lissant la distribution "observée" de manière non-paramétrique. Cette méthode est basée sur les travaux de Parzen (1961) et les méthodologies plus récentes sont développées dans Thompson et Tapia (1990). Cependant, une troisième approche, c’est-à-dire l’approche par simulation historique semble être devenue l’approche favorisée par l’industrie (Berkowitz et al. (2007)). Nous allons donc nous concentrer plus en détail sur cette approche. La méthode par simulation historique consiste à évaluer la VaR en deux étapes. Dans un premier temps on construit une série de rentabilités pseudo-historiques à partir des poids du portefeuille actuels ainsi que de l’historique des rentabilités. Puis, le quantile des rentabilités pseudo-historiques du portefeuille est calculé. Il est intéressant de noter que l’approche par simulation historique est souvent décrite comme "model-free". Cependant, comme remarqué par Christoffersen (2006), la méthode n’est pas "assumption-free" car elle présuppose que les rentabilités sont distribuées de manière identique et indépendante. Or, ce n’est pas ce que l’on observe à partir des rentabilités empiriques. En vue de fournir des prédictions adéquates, le modèle devrait intégrer les faits stylisés suivants (voire entre autres Anderson et al. (2006): - La moyenne conditionnelle des rentabilités journalières ne peut être prédite. - Les variances des rentabilités journalières sont largement supérieures à leurs moyennes. - La variance des rentabilités journalières peut être prédite. - Les rentabilités journalières ne sont pas normalement distribuées. - Les réalisations positives ou négatives d’une même amplitude peuvent avoir des impacts différents sur la variance. - Les corrélations entre les actifs varient avec le temps. - Quand l’horizon d’investissement s’accroît, la distribution des rentabilités tend vers une loi normale. L’intégration de ces faits stylisés nécessite le recours à un modèle de volatilité dynamique. En premier lieu, cependant, il faut opter pour une approche univariée ou multivariée de la modélisation. L’approche univariée consiste à modéliser directement les propriétés du portefeuille, alors que l’approche multivariée implique de modéliser les différentes composantes du portefeuille. L’avantage de l’approche univariée c’est qu’elle ne nécessite pas la modélisation des corrélations et interdépendances entre différentes composantes. Cela dit, l’approche univariée est largement dépendante des poids du portefeuille et si ceux-ci varient, le modèle estimé devrait varier de même. C’est la raison pour laquelle cette approche est parfois dénommée "passive" puisqu’elle ne permet pas d’analyser les impacts d’une gestion des risques active qui ajusterait les poids du portefeuille. A cet égard, il faut noter que la modélisation multivariée permet de même d’effectuer des procédures de "backtesting" multivariées. Or, ces tests multivariés permettent de mieux détecter des anomalies de spécification (Berkowitz et al. (2007)). En ce qui concerne le processus de rentabilité journalière, il est souvent modélisé en supposant qu’il est le résultat du produit de la volatilité et d’un tirage aléatoire issu d’une loi statistique standardisée de moyenne 0. Afin de modéliser les propriétés dynamiques de la volatilité, Christoffersen (2006) suggère d’utiliser un modèle NGARCH (1,1) comme développé par Engle et Ng (1993). Ce modèle postule que la variance en période t dépend de la rentabilité et de la variance à la période antérieure. Par ailleurs, la forme paramétrique permet de rendre compte du fait qu’une rentabilité négative d’une certaine ampleur accroît la variance plus qu’une rentabilité positive de même ampleur. Cette asymmétrie permet justement de rendre compte d’un certain nombre de faits stylisés décrits auparavant. Ce modèle donne lieu à une variance inconditionelle de long terme avec des fluctuations de la variance à court ou moyen terme. La dynamique de la volatilité est alors fonction de la variance de long terme ainsi que de la rentabilité passée. Les paramètres peuvent être estimés en maximisant la fonction de quasi maximum de vraisemblance. Typiquement, les paramètres estimés indiquent une faible réversion à la moyenne avec une forte predictabilité de la variance. Une fois la dynamique de la volatilité estimée, il faut simuler les réalisations de la loi statistique de z mentionnée auparavant. A cet égard, différentes lois peuvent être utilisées et les spécifications donnent lieu à divers modèles de risque connus. Cela dit, la méthode qui permet de simuler la série sans imposer de loi consiste à déterminer l’ensemble de chocs z à partir des rentabilités filtrées par le modèle GARCH. On parle de Filtered Historical Simulation (FHS). Etant donné qu’avec le modèle GARCH, la volatilité à la période t+1 est connue, la VaR peut être calculée en multipliant la volatilité par le percentile de la distribution des chocs. Cette procédure permet donc d’évaluer un VaR conditionnelle. Une prochaine étape sera la construction de VaR dynamiques, qui prennent en compte les variations des stratégies de portefeuille en fonction des variations anticipées de volatilité. Appendice technique : VOIR JOURNAL Dr. Michel Verlaine Associate Professor of Finance ICN Business School Expert for IFB Audit and Advisory Services Michel.verlaine@icn-groupe.fr ICN Business School conjointement avec IFB Audit and Advisory offrent des programmes de Formation Continue sur les sujets traits dans cette rubrique. Pour de plus amples détails contacter l’auteur. Références bibliographiques Andersen, T.G., Bollerslev, T. Christofferson, P. and Diebold, F. (2006) "Practical Volatility and Correlation Modeling in for Financial Market Risk Management”, in M. Carye and R. Stulz (eds.), The Risks of Financial Institutions, Chicago University Press. Berkowitz, J., Christofferson, P. and Pelletier, D. (2007) “Evaluating Value-at-Risk Models with Desk-Level Data”, Manuscript North Carolina State University. Christoffersen, Peter F., (2006) “Value-at-Risk Models”, prepared for the Handbook of Financial Time Series, T.G. Andersen, R.A. Davis, J.-P. Kreiss, and T. Mikosch (eds.), Springer Verlag. Engle, R. and Ng, V. (1993) “Measuring and Testing the Impact of News on Volatility”, Journal of Finance, 48, 1749-1778. Parzen, E. (1961) “On estimation of probability density function and mode”, Annals of Mathematical Statistics, Vol. 33, 1065-1076. Tompson, J. R. and Tapia, R.A. (1990) Nonparametric Function Estimation, Modeling and Simulation, SIAM Philadelphia. |
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